第3章计算机图形处理技术¶

学习目标¶

掌握常用图形（直线、圆弧、曲线）的生成算法及其在显示器上的呈现原理
理解二维/三维图形几何变换的矩阵表示及组合变换的合成方法
熟悉常用消隐算法（画家算法、Z 缓冲区）的基本思想与适用场景

核心概念¶

图形生成算法：在光栅显示器上生成基本图元（直线 DDA、bresenham、圆弧等）的方法
窗口与视区：在世界坐标系中定义的可见区域（窗口）和设备坐标系中对应的显示区域（视区）
齐次坐标变换：用 n+1 维向量表示 n 维几何变换，使平移、缩放、旋转等变换统一为矩阵乘法
几何变换矩阵：表示平移、旋转、比例、对称、错切等变换的二维/三维矩阵
投影变换：将三维模型映射到二维平面的过程，包括正平行投影（三视图）与轴测投影
消隐技术：识别并去除被遮挡的不可见线/面，使显示图形更具真实感

本章导读¶

本章从图形显示原理出发，介绍光栅显示器上直线的生成、几何变换的矩阵方法以及三维投影与消隐技术。这些内容是 CAD 软件实现视图操作（缩放、旋转、平移）和真实感显示的基础，也是理解 OpenGL 等图形 API 工作原理的预备知识。

3.1基本图形生成技术及算法¶

3.1.1图形在计算机屏幕上的显示¶

3.1.2图形的生成方法¶

轮廓线法
参数化法
图形元素拼合法
尺寸驱动法
三维实体投影法

3.2图形的几何变换技术¶

3.2.1窗口与视区¶

世界坐标系与窗口
设备坐标系与视区坐标系
世界坐标系与设备坐标系的转换
窗口与视区的变换

3.2.2二维图形几何变换¶

平移变换
旋转变换
比例变换
对称变换
错切变换
二维图形的组合变换

二维齐次变换矩阵¶

二维图形的齐次坐标变换可以用 3×3 矩阵表示：

\[\begin{split}\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

其中，平移变换矩阵为：

\[\begin{split}T(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

旋转变换矩阵（绕原点旋转 \(\theta\) 角）为：

\[\begin{split}R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

3.2.3三维图形几何变换¶

三维平移变换
三维旋转变换
三维比例变换
三维对称变换
三维错切变换
三维组合变换

3.2.4三维图形的投影变换¶

三视图

投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，通常说的三视图均属于正平行投影。

正轴测图

轴测图具有一定的立体感，可以帮助设计者或生产者了解物体的形状。

3.3图形的消隐技术¶

画家算法

画家算法的基本思想，是先把屏幕置为背景色，再把物体的各个面按其离视点的远近进行排序。离视点远的在表头，离视点近的在表尾，构造深度优先表。然后，从表头至表尾逐个取出多边形，投影到屏幕上，显示多边形所包含的实心区域。由于后显示的图形取代先显示的图画，而后显示的图形所代表的面离视点更近，所以，由远及近地绘制各面，就相当于消除隐藏面。

Z缓冲区算法

Z缓冲区算法需要一个帧缓冲区来存放各个像素的亮度值，还需要一个Z缓冲区来存放每个像素的深度值，即Z坐标。

关键术语¶

图形生成算法（Graphics Generation Algorithm）
设备坐标系（Device Coordinate System, DCS）
世界坐标系（World Coordinate System, WCS）
窗口（Window）/视区（Viewport）
齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
变换矩阵（Transformation Matrix）
正平行投影（Orthographic Projection）
轴测投影（Axonometric Projection）
消隐（Hidden Surface Removal）
画家算法（Painter's Algorithm）
Z 缓冲区算法（Z-Buffer Algorithm）
深度优先表（Depth Priority List）

工程应用场景¶

CAD 软件视图操作: 二维/三维几何变换矩阵是 CAD 软件实现缩放、旋转、平移、镜像等视图操作的核心，用户拖动鼠标即触发对应变换矩阵的实时更新。
工程图三视图生成: 通过正平行投影将三维模型沿主视图、俯视图、左视图方向投影，自动生成符合国标的工程图。
装配爆炸图与可视化: 利用几何变换实现零件的位移/旋转爆炸分解，并结合 Z 缓冲区消隐技术呈现装配体的空间关系。

复习问题¶

什么是齐次坐标？为什么要引入齐次坐标来表示几何变换？
三视图与轴测图在投影方式上有什么本质区别？各自的工程用途是什么？
比较画家算法和 Z 缓冲区算法的优缺点，并说明各自的适用场景。

延伸学习建议¶

学习 OpenGL 或 WebGL 基础，亲手实现一个二维图形的平移/旋转/缩放交互程序
阅读 Foley《计算机图形学原理及实践》前 5 章，深化对图形管线与变换矩阵的理解
了解现代渲染引擎（Unity/Unreal）中的图形变换与消隐实现

第3章 计算机图形处理技术¶