第3章 计算机图形处理技术
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学习目标
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1. 掌握常用图形（直线、圆弧、曲线）的生成算法及其在显示器上的呈现原理
2. 理解二维/三维图形几何变换的矩阵表示及组合变换的合成方法
3. 熟悉常用消隐算法（画家算法、Z 缓冲区）的基本思想与适用场景

核心概念
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- **图形生成算法**：在光栅显示器上生成基本图元（直线 DDA、bresenham、圆弧等）的方法
- **窗口与视区**：在世界坐标系中定义的可见区域（窗口）和设备坐标系中对应的显示区域（视区）
- **齐次坐标变换**：用 n+1 维向量表示 n 维几何变换，使平移、缩放、旋转等变换统一为矩阵乘法
- **几何变换矩阵**：表示平移、旋转、比例、对称、错切等变换的二维/三维矩阵
- **投影变换**：将三维模型映射到二维平面的过程，包括正平行投影（三视图）与轴测投影
- **消隐技术**：识别并去除被遮挡的不可见线/面，使显示图形更具真实感

本章导读
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本章从图形显示原理出发，介绍光栅显示器上直线的生成、几何变换的矩阵方法以及三维投影与消隐技术。这些内容是 CAD 软件实现视图操作（缩放、旋转、平移）和真实感显示的基础，也是理解 OpenGL 等图形 API 工作原理的预备知识。

3.1基本图形生成技术及算法
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3.1.1图形在计算机屏幕上的显示
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3.1.2图形的生成方法
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1. 轮廓线法
2. 参数化法
3. 图形元素拼合法
4. 尺寸驱动法
5. 三维实体投影法

3.2图形的几何变换技术
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3.2.1窗口与视区
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1. 世界坐标系与窗口
2. 设备坐标系与视区坐标系
3. 世界坐标系与设备坐标系的转换
4. 窗口与视区的变换

3.2.2二维图形几何变换
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1. 平移变换
2. 旋转变换
3. 比例变换
4. 对称变换
5. 错切变换
6. 二维图形的组合变换

二维齐次变换矩阵
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二维图形的齐次坐标变换可以用 3×3 矩阵表示：

.. math::

    \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix}
    =
    \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}

其中，平移变换矩阵为：

.. math::

    T(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

旋转变换矩阵（绕原点旋转 :math:`\theta` 角）为：

.. math::

    R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

3.2.3三维图形几何变换
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1. 三维平移变换
2. 三维旋转变换
3. 三维比例变换
4. 三维对称变换
5. 三维错切变换
6. 三维组合变换

3.2.4三维图形的投影变换
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1. 三视图
 
 投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，通常说的三视图均属于正平行投影。

2. 正轴测图

 轴测图具有一定的立体感，可以帮助设计者或生产者了解物体的形状。

3.3图形的消隐技术
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1. 画家算法

 画家算法的基本思想，是先把屏幕置为背景色，再把物体的各个面按其离视点的远近进行排序。离视点远的在表头，
 离视点近的在表尾，构造深度优先表。然后，从表头至表尾逐个取出多边形，投影到屏幕上，显示多边形所包含的实心区域。
 由于后显示的图形取代先显示的图画，而后显示的图形所代表的面离视点更近，所以，由远及近地绘制各面，就相当于消除隐藏面。

2. Z缓冲区算法
 
 Z缓冲区算法需要一个帧缓冲区来存放各个像素的亮度值，还需要一个Z缓冲区来存放每个像素的深度值，即Z坐标。

关键术语
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- 图形生成算法（Graphics Generation Algorithm）
- 设备坐标系（Device Coordinate System, DCS）
- 世界坐标系（World Coordinate System, WCS）
- 窗口（Window）/视区（Viewport）
- 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
- 变换矩阵（Transformation Matrix）
- 正平行投影（Orthographic Projection）
- 轴测投影（Axonometric Projection）
- 消隐（Hidden Surface Removal）
- 画家算法（Painter's Algorithm）
- Z 缓冲区算法（Z-Buffer Algorithm）
- 深度优先表（Depth Priority List）

工程应用场景
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**CAD 软件视图操作**
  二维/三维几何变换矩阵是 CAD 软件实现缩放、旋转、平移、镜像等视图操作的核心，用户拖动鼠标即触发对应变换矩阵的实时更新。

**工程图三视图生成**
  通过正平行投影将三维模型沿主视图、俯视图、左视图方向投影，自动生成符合国标的工程图。

**装配爆炸图与可视化**
  利用几何变换实现零件的位移/旋转爆炸分解，并结合 Z 缓冲区消隐技术呈现装配体的空间关系。

复习问题
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1. 什么是齐次坐标？为什么要引入齐次坐标来表示几何变换？
2. 三视图与轴测图在投影方式上有什么本质区别？各自的工程用途是什么？
3. 比较画家算法和 Z 缓冲区算法的优缺点，并说明各自的适用场景。

延伸学习建议
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- 学习 OpenGL 或 WebGL 基础，亲手实现一个二维图形的平移/旋转/缩放交互程序
- 阅读 Foley《计算机图形学原理及实践》前 5 章，深化对图形管线与变换矩阵的理解
- 了解现代渲染引擎（Unity/Unreal）中的图形变换与消隐实现